Question

已知定义域为R的奇函数f（x）=

2x-b

2x+a

．
（Ⅰ）求a，b的值．
（Ⅱ）判断f（x）的单调性，并说明理由；
（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＞0恒成立，求k的取值．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的单调性及单调区间,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（I）由定义域为R的奇函数f（x）=

2x-b

2x+a

，可得f（0）=0，f（1）+f（-1）=0，解得b，a即可．
（II）由（I）可得：f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，
利用y=2^x在R上单调递增，可得y=

1

2x+1

在R上单调递减，可得y=-

2

2x+1

在R上单调递增，即可得出f（x）=1-

2

2x+1

在R上单调性．
（III）由（II）可知：f（x）在R上单调递增．由f（x）是奇函数，可得-f（2t²-k）=f（k-2t²）．不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＞0恒成立?t²-t＞k-2t²在t∈R恒成立，由3t²-2t-k＞0在t∈R恒成立，因此△＜0，解出即可．

解答： 解：（I）∵定义域为R的奇函数f（x）=

2x-b

2x+a

，
∴f（0）=

1-b

1+a

=0，f（1）+f（-1）=

2-b

2+a

+

1 2 -b

1 2 +a

=0，
解得b=1，a=1．
（II）由（I）可得：f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，
∵y=2^x在R上单调递增，∴y=

1

2x+1

在R上单调递减，∴y=-

2

2x+1

在R上单调递增，
因此f（x）=1-

2

2x+1

在R上单调递增．
（III）由（II）可知：f（x）在R上单调递增．
由f（x）是奇函数，可得-f（2t²-k）=f（k-2t²）．
不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＞0恒成立?f（t²-2t）＞-f（2t²-k）=f（k-2t²）在t∈R恒成立?t²-t＞k-2t²在t∈R恒成立，
由3t²-2t-k＞0在t∈R恒成立，
∴△=4+12k＜0，解得k＜-

1

3

．即为所求．

点评：本题考查了函数的奇偶性、单调性、指数函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．