Question

已知f（x）=x³+2x²+x，x∈R．
（1）求函数f（x）的单调减区间；
（2）当x∈[-1，1]时，求f（x）的值域．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得f′（x）=3x²+4x+1，令f′（x）=0，得x1=-1，x2=-

1

3

，由此利用导数性质求出函数f（x）的单调减区间是（-1，-

1

3

）．
（2）由（1）得f（x）在（-1，-

1

3

）单调递减，在（-

1

3

，1）单调递增，由此能求出当x∈[-1，1]时，f（x）的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³+2x²+x，x∈R，∴f′（x）=3x²+4x+1，…1分
令f′（x）=0，得x1=-1，x2=-

1

3

，…2分
当x∈（-1，-

1

3

）时，f′（x）＜0，…4分
∴函数f（x）的单调减区间是（-1，-

1

3

）．…5分
（2）由（1）得f（x）在（-1，-

1

3

）单调递减，
在（-

1

3

，1）单调递增，…6分
∵f（-1）=0，f（-

1

3

）=-

4

27

，f（1）=4，…8分
∴f（x）的值域为[-

4

27

，4]…10分．

点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查函数在闭区间上的值域的求法，是中档题，解题时要注意导数性质的合理运用．