Question

已知函数f（x）=

a

x

+lnx（a∈R）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=1时，求函数f（x）+2x的极值；
（Ⅲ）若f（x）＜x²在x∈（1，+∞）时恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由已知得函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=-

a

x2

+

1

x

=

x-a

x2

，由此根据a的取值范围分类讨论，利用导数性质能求出函数f（x）的单调区间．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）+2x，当a=1时，g（x）=

1

x

+lnx+2x，x＞0.g′(x)=-

1

x2

+

1

x

+2=

(2x-1)(x+1)

x2

，由此利用导数性质能求出函数f（x）+2x的极值．
（Ⅲ） f（x）＜x²等价于x2-

a

x

-lnx＞0，由此利用导数性质能求出实数a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′(x)=-

a

x2

+

1

x

=

x-a

x2

，…（1分）
①当a＜0时，∵x＞0，∴f′（x）≥0恒成立，
所以函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增．
②当a＞0时，∵x＞0，∴令f′（x）＞0，得x＞a；令f′（x）＜0，得x＜a．
∴f（x）在区间（0，a）上单调递减，在区间（a，+∞）上单调递增．…（3分）
综上所述：
当a≤0时，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，函数f（x）在区间（0，a）上单调递减，在区间（a，+∞）上单调递增．…（4分）
（Ⅱ）令g（x）=f（x）+2x，当a=1时，g（x）=

1

x

+lnx+2x，x＞0．
g′(x)=-

1

x2

+

1

x

+2=

2x2+x-1

x2

=

(2x-1)(x+1)

x2

，…（5分）
令g′（x）=0，得x=

1

2

或x=-1（舍），
当0＜x＜

1

2

时，g′（x）0．…（7分）
所以，当x=

1

2

时，g（x）取极小值为g（

1

2

）=3-ln2，g（x）无极大值．…（8分）
（Ⅲ） f（x）＜x²等价于x2-

a

x

-lnx＞0，
∵x∈（1，+∞），∴a＜x³-xlnx．…（9分）
令h（x）=x³-xlnx，则k（x）=h′（x）=3x²-lnx-1，
k′(x)=6x-

1

x

=

6x2-1

x

，
∵x∈[1，+∞）时，k′（x）＞0，
∵k（x）在区间[1，+∞）上单调递增，∴k（x）＞k（1）=2，…（12分）
∴h′（x）＞0，∴h（x）=x³-xlnx在[1，+∞）上单调递增，
∵x∈（1，+∞），∴h（x）＞h（1）=1，
∴a≤1． …（14分）

点评：本题主要考查函数与导数等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、数形结合思想、函数与方程思想及化归思想等．