Question

已知函数f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1处取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）求函数y=f（x）在[0，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得f′（x）=3ax²+2bx-3，

3a+2b-3=0 3a-2b-3=0

，由此能求出a，b．
（2）由（1）得f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）．由此利用导数性质能求出函数y=f（x）在[0，2]上的最大值和最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax³+bx²-3x，
∴f′（x）=3ax²+2bx-3，
∵f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1处取得极值，
∴f′（1）=f′（-1）=0，

3a+2b-3=0 3a-2b-3=0

，解得a=1，b=0．…（6分）
（2）由（1）得f（x）=x³-3x，
∴f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）．
由f′（x）=0，得x=1，或x=-1（舍），
∵x∈（0，1）时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．
∵f（0）=0，f（2）=2，f（1）=-2．
∴最大值为2，最小值为-2．…（12分）

点评：本题主要考查函数与导数等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等．