Question

函数f（x）=

1

3

x³-4x+4．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）设函数g（x）=x²-2x+m，对?x₁，x₂∈[0，3]，都有f（x₁）≥g（x₂），求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由已知得f'（x）=x²-4=（x+2）（x-2），令f'（x）=0，解得x=-2，或x=2，由此列表讨论，能求出函数f（x）的极值．
（Ⅱ）因为?x₁，x₂∈[0，3]，都有f（x₁）≥g（x₂），所以只需f（x）_min≥g（x）_max即可，由此能求出实数m的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）因为f(x)=

1

3

x3-4x+4，
所以f'（x）=x²-4=（x+2）（x-2），（1分）
令f'（x）=0，解得x=-2，或x=2，

x	（-∞，-2）	-2	（-2，2）	2	（2，+∞）
f（x）	+	0	-	0	+
f'（x）	↗	28 3	↘	- 4 3	↗

（4分）
故当x=-2时，f（x）有极大值，极大值为

28

3

；（5分）
当x=2时，f（x）有极小值，极小值为-

4

3

．（6分）
（Ⅱ）因为?x₁，x₂∈[0，3]，都有f（x₁）≥g（x₂），
所以只需f（x）_min≥g（x）_max即可．（7分）
由（Ⅰ）知：函数f（x）在区间[0，3]上的最小值f（x）_min=f（2）=-

4

3

，（9分）
又g（x）=x²-2x+m=（x-1）²+m-1，
则函数g（x）在区间[0，3]上的最大值g（x） _max=g（3）=m+3，（11分）
由f（x）_min≥g（x）_max，即m+3≤-

4

3

，解得m≤-

13

3

，
故实数m的取值范围是(-∞，-

13

3

]．（12分）

点评：本题考查函数的极值的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．