Question

已知函数f（x）=2

3

sinxcosx-3sin²x-cos²x+2．
（1）求f（x）的最大值；
（2）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足b=

3

a，sin（2A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），求f（B）的值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（I）利用平方关系、倍角公式、两角和差的正弦公式及其单调性即可得出；
（II）利用两角和差的正弦公式、正弦定理、余弦定理即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=

3

sin2x-3sin2x-cos2x+2(sin2x+cos2x)

= 3 sin2x+cos2x-sin2x = 3 sin2x+cos2x=2sin(2x+ π 6 )

∴f（x）的最大值是2．
（Ⅱ）由条件得 sin（2A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），
∴sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），
化简得 sinC=2sinA，
由正弦定理得：c=2a，
又b=

3

a，
由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=3a2+4a2-4

3

a2cosA⇒cosA=

3

2

⇒A=

π

6

，B=

π

3

，C=

π

2

，
∴f(B)=f(

π

3

)=2sin

5π

6

=1．

点评：本题考查了平方关系、倍角公式、两角和差的正弦公式及其单调性、正弦定理、余弦定理，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．