Question

已知曲线C₁：

x=cosθ y= 3 6 sinθ

（θ为参数），C₂：

x= 2 2 +t•cosα y=t•sinα

（t为参数）．
（Ⅰ）将C₁、C₂的方程化为普通方程；
（Ⅱ）若C₂与C₁交于M、N，与x轴交于P，求|PM|•|PN|的最小值及相应α的值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（I）），利用sin²θ+cos²θ=1，即可把曲线C₁：

x=cosθ y= 3 6 sinθ

（θ为参数），化为普通方程；由C₂：

x= 2 2 +t•cosα y=t•sinα

（t为参数），消去参数t即可得出．
（II）C₂与x轴交于P(

2

2

，0)，把C₂的方程代入曲线C₁可得：（2+22sin²α）t²+2

2

tcosα-1=0．利用参数的几何意义可得|PM|•|PN|=-t₁t₂=

1-2 2 cosα

2+22sin2α

，进而求出最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由曲线C₁：

x=cosθ y= 3 6 sinθ

（θ为参数），利用sin²θ+cos²θ=(

6y

3

)2+x2=1，化为x²+12y²=1．
由C₂：

x= 2 2 +t•cosα y=t•sinα

（t为参数），消去参数t可得：(x-

2

2

)sinα-ycosα=0．
（Ⅱ）C₂与x轴交于P(

2

2

，0)，
把C₂：

x= 2 2 +t•cosα y=t•sinα

（t为参数）．代入曲线C₁可得：（2+22sin²α）t²+2

2

tcosα-1=0．
∴|PM|•|PN|=-t₁t₂=

1-2 2 cosα

2+22sin2α

≥

1

24

，
∴|PM|•|PN|的最小值

1

24

，此时α=kπ+

π

2

，k∈Z．

点评：本题考查了把参数方程化为普通方程、直线参数的几何意义，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．