Question

已知函数f（x）=

a•3x+a-2

3x+1

，函数f（x）为奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明．
（3）若解不等式f（x+2）+f（x-3）＜0．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据题意和奇函数的结论：f（0）=0列出方程求出a的值；
（2）先判断出函数的单调性，再用定义证明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，利用作差判断f（x₂）与f（x₁）的大小，根据单调性的定义可作出判断；
（3）利用函数的奇偶性将不等式f（x+2）+f（x-3）＜0转化为f（x+2）＜-f（x-3）=f（3-x），然后利用单调性求不等式的解集．

解答： 解：（1）由题意得，奇函数f（x）的定义域是R，
∴f（0）=

a•30+a-2

30+1

=0，解得a=1，
（2）由（1）得，f(x)=

3x-1

3x+1

，
f（x）在定义域上是单调增函数，证明如下：
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=

3x2-1

3x2+1

-

3x1-1

3x1+1

=

(3x2-1)(3x1+1)-(3x1-1)(3x2+1)

(3x2+1)(3x1+1)

=

2(3x2-3x1)

(3x2+1)(3x1+1)

，
∵x₁＜x₂，且3x2＞0，3x1＞0，
∴3x2-3x1＞0，3x2+1＞0，3x1+1＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）为R上的单调增函数；
（3））∵f（x）在（-∞，+∞）上为增函数，且为奇函数，
∴原不等式f（x+2）+f（x-3）＜0等价为f（x+2）＜-f（x-3）=f（3-x），
∴x+2＜3-x，解得x＜

1

2

即不等式的解集是{x|x＜

1

2

}．

点评：本题考查函数奇偶性的应用，利用定义法证明函数的单调性，以及函数单调性和奇偶性的综合应用，利用函数的奇偶性将不等式进行转化是解决本题的关键．