Question

已知f（x）=alnx+

1

2

x²-x（a∈R）
（Ⅰ）若x=2是函数f（x）的一个极值点，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）对?x∈（e，+∞），f（x）-ax＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）根据极值的定义，f′（2）=0，这样便能求出a=-2，再求f′（x），根据极值的定义便可判断该函数在x=2处取极小值，并且是最小值，求出f（2）即可．
（Ⅱ）根据已知条件，alnx+

1

2

x2-x-ax=a(lnx-x)+

1

2

x2-x＞0恒成立，因为求a的范围，所以想着让不等式一边是a，因为x＞e时，lnx-x＜0，所以能得到：a＜

1 2 x2-x

x-lnx

，所以令g（x）=

1 2 x2-x

x-lnx

，所以求出g（x）的范围即可，可通过求导数判断单调性，根据单调性求范围．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=

a

x

+x-1，∴f′（2）=

a

2

+2-1=0，∴a=-2；
∴f（x）=-2lnx+

1

2

x2-x，f′（x）=-

2

x

+x-1=

x2-x-2

x

=

(x+1)(x-2)

x

；
∴0＜x＜2时，f′（x）＜0；x＞2时，f′（x）＞0，∴x=2时，f（x）取最小值-2ln2．
（Ⅱ）f(x)-ax=alnx+

1

2

x2-x-ax＞0，即a(lnx-x)＞-

1

2

x2+x；
∵x＞e，∴lnx-x＜0，∴a＜

1 2 x2-x

x-lnx

．
设g（x）=

1 2 x2-x

x-lnx

，x∈（e，+∞）；
g′（x）=

(x-1)(x-lnx)-(1- 1 x )( 1 2 x2-x)

(x-lnx)2

=

(x-1)( 1 2 x+1-lnx)

(x-lnx)2

；
x∈（e，+∞）时，x-1＞0，令h（x）=

1

2

x+1-lnx，则：
h′（x）=

1

2

-

1

x

＞0，∴h（x）在[e，+∞）上单调递增；
x∈（e，+∞）时，h（x）＞h（e）=

e

2

＞0；
∴g′（x）＞0；
∴g（x）在（e，+∞）上为增函数，∴g（x）＞g（e）=

e2-2e

2(e-1)

；
∴a≤

e2-2e

2(e-1)

；
∴a的取值范围为（-∞，

e2-2e

2(e-1)

]．

点评：本题考查极值的概念，最值的概念，求最值的方法，导数符号和函数单调性的关系，由单调性求函数值的取值范围，而得到a＜

1 2 x2-x

x-lnx

是求解本题的关键．