Question

已知函数f（x）=

a

x

+lnx（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下求函数f（x）+2x的极值；
（Ⅲ）若f（x）＜

1

2

x在x∈（1，+∞）时恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=

1

x

+lnx，x＞0，f′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，由此能求出函数f（x）的单调区间．
（Ⅱ）设g（x）=f（x）+2x=

1

x

+lnx+2x，g′（x）=

1

x

-

1

x2

+2=

2x2+x-1

x2

，利用导数性质能求出函数f（x）+2x的极值．
（Ⅲ）由题意知

a

x

+lnx-

1

2

x＜0在x∈（1，+∞）时恒成立，即a＜

1

2

x2-xlnx在x∈（1，+∞）时恒成立，设h（x）=

1

2

x2-xlnx，利用导数性质能求出a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=

1

x

+lnx，
∴x＞0，f′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
由f′(x)=

x-1

x2

=0，得x=1，
当x∈（0，1）时，f′（x）0，
∴函数f（x）的单调减区间是（0，1），单调增区间是（1，+∞）．
（Ⅱ）设g（x）=f（x）+2x=

1

x

+lnx+2x，
g′（x）=

1

x

-

1

x2

+2=

2x2+x-1

x2

，
由g′（x）=0，得x₁=-1，x2=

1

2

，
∵x＞0，∴x=-1不合题意，舍去，
当x∈（0，

1

2

）时，g′（x）0，
∴函数g（x）的单调减区间是（0，

1

2

），单调增区间是（

1

2

，+∞）．
∴x=

1

2

时，函数f（x）+2x取极小值g(

1

2

)=2+ln

1

2

+2×

1

2

=3-ln2．
无极大值．
（Ⅲ）∵f（x）＜

1

2

x在x∈（1，+∞）时恒成立，
∴

a

x

+lnx-

1

2

x＜0在x∈（1，+∞）时恒成立，
∵x＞0，∴a＜

1

2

x2-xlnx在x∈（1，+∞）时恒成立，
设h（x）=

1

2

x2-xlnx，
则h′（x）=x-lnx-1，x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，
∴h（x）=

1

2

x2-xlnx在（1，+∞）是增函数，
∴a≤h（1）=

1

2

，即a≤

1

2

，
∴a的取值范围为（-∞，

1

2

]．

点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．