Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+4，（x∈R）在x=2处取得极小值．
（Ⅰ）若函数f（x）的极小值是-4，求f（x）；
（Ⅱ）若函数f（x）的极小值不小于-6，问：是否存在实数k，使得函数f（x）在[k，k+3]上单调递减．若存在，求出k的范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）根据已知条件：

f′(2)=0 f(2)=-4

即可建立关于a，b的两个方程，解方程即可求出a，b，从而求出f（x）．
（Ⅱ）先假设存在实数k，并设方程f′（x）=3x²+2ax+b=0的两根为x₁，x₂且x₁＜x₂，则x2=2，x1+2=-

2a

3

，x1=-2-

2a

3

，并且函数f（x）在[-2-

2a

3

，2]单调递减，所以根据已知条件及假设可得到：

f(2)≥-6 f′(2)=0 x2-x1=2+2+ 2a 3 ≥3

解不等式便可求出a=-2，b=-6，所以函数f（x）在[-1，2]上单调递减，这时候得限制k为：

k≥-1 k+3≤2

，这样求出k即可．•

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=3x²+2ax+b；
由已知条件得：

12+4a+b=0 8+4a+2b+4=-4

，解得：a=-2，b=-4；
∴f（x）=x³-2x²-4x+4．
（Ⅱ）假设存在实数k，使得函数f（x）在[k，k+3]上单调递减；
设方程f′（x）=3x²+2ax+b=0的两根为x₁，x₂，且x₁＜x₂，则x₂=2；
∴x1+2=-

2a

3

，x1=-2-

2a

3

；
∴解3x²+2ax+b＜0得：-2-

2a

3

＜x＜2；
∴函数f（x）在[-2-

2a

3

，2]上单调递减；
由已知条件及f（x）在[k，k+3]上单调递减得：

f(2)=8+4a+2b+4≥-6 f′(2)=12+4a+b=0 2+2+ 2a 3 ≥3

，解得a=-

3

2

，b=-6；
∴函数f（x）在[-1，2]单调递减；
∴

k≥-1 k+3≤2

，解得k=-1．
∴存在实数k=-1，使得函数f（x）在[k，k+3]上单调递减．

点评：考查函数的极值和导数的关系，及极值的概念，函数导数符号和函数单调性的关系，一元二次方程根与系数的关系．