Question

已知函数f（x）的定义域为（-2，2），导函数为f′（x）=x²+cosx且f（0）=0，则满足f（1+x）+f（x²-x）＞0的实数x的集合是

 

．

Answer 1

考点：导数的运算

专题：导数的概念及应用

分析：由导函数可求原函数f（x），判断函数f（x）单调性和奇偶性，利用奇偶性将不等式f（x-2）+f（x²-2x）＞0转化成f（x-2）＞f（2x-x²），利用单调性去掉函数符号f 即可解得所求，注意自变量本身范围．

解答： 解：∵f′（x）=x²+cosx，知f（x）=

1

3

x³+sinx+c，而f（0）=0，∴c=0．
即f（x）=

1

3

x³+sinx，易知此函数是奇函数，且在整个区间单调递增，
因为f′（x）=1+cosx在x∈（0，2）恒大于0，
根据奇函数的性质可得出，在其对应区间上亦是单调递增的．
由 f（1+x）+f（x^2_-x）＞0 可得 f（1+x）＞f（x-x²），
∴

1+x＞x-x2 -2＜1+x＜2 -2＜x-x2＜2

，
解得-1＜x＜1．
故实数x的集合是：（-1，1）
故答案为：（-1，1）

点评：本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，以及函数的单调性和奇偶性，同时考查了计算能力，属于中档题．