Question

已知函数f（x）=-|x|+1，若关于x的方程f²（x）+（2m-1）f（x）+4-2m=0有4个不同的实数解，求实数m的取值范围（　　）

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：题中原方程f²（x）+（2m-1）f（x）+4-2m=0有4个不同的实数解，即要求有2个不同的t满足f（x）=t（K为不等1常数），先根据题意作出f（x）的简图，再根据函数f（x）=-|x|+1对应法则，设t=f（x），等价于方程t²+（2m-1）t+4-2m=0有2个不同的实数解，再根据一元二次方程根的分布理论可以得出答案．

解答： 解：函数f（x）的图象如右，设t=f（x）∈（-∞，1]，
则关于x 的方程f²（x）+（2m-1）f（x）+4-2m=0有 4 个不同的实数解，
等价于方程t²+（2m-1）t+4-2m=0有2个不同的实数解，
设g（t）=t²+（2m-1）t+4-2m，
则

△=(2m-1)2-4(4-2m)＞0 - 2m-1 2 ＜1 g(1)=4＞0

，
解得

m＞ 3 2 或m＜- 5 2 m＞- 1 2 m∈R

，
∴m＞

3

2

．

点评：本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识，属于难题，采用数形结合的方法解决，使本题变得易于理解．数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．