Question

化简或求值：
（1）lg500+lg

8

5

-

1

2

lg64+50（lg2+lg5）²
（2）已知-

π

2

＜x＜0，sinx+cosx=

1

5

，求sinx-cosx的值．

Answer 1

考点：三角函数的化简求值,对数的运算性质

专题：三角函数的求值

分析：（1）利用对数的运算性质即可求得答案；
（2）由sinx+cosx=

1

5

⇒sin2x=-

24

25

；依题意，可知sinx-cosx＜0，设sinx-cosx=t（t＜0），两端平方后再开方即可求得答案．

解答： 解：（1）原式=lg（500×

8

5

）-lg82×

1

2

+50×1=lg

800

8

+50=lg10²+50=52；
（2）∵sinx+cosx=

1

5

，
∴sin²x+2sinxcosx+cos²x=1+sin2x=

1

25

，
∴sin2x=-

24

25

；
又∵-

π

2

＜x＜0，
∴sinx＜0，cosx＞0，
∴sinx-cosx＜0，设sinx-cosx=t（t＜0）；
则t²=sin²x-2sinxcosx+cos²x=1-sin2x=1+

24

25

=

49

25

，
∴t=-

7

5

，即sinx-cosx=-

7

5

．

点评：本题考查三角函数的化简求值，着重考查三角函数间的平方关系的应用及整体代入的方法的应用，属于中档题．