Question

已知x²+ax+3≥0在[-1，1]上恒成立，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：构造函数f（x），将不等式转化为求函数f（x）的最小值，利用二次函数对称轴与区间之间的关系即可求出结论．

解答： 解：设f（x）=x²+ax+3，
判别式△=a²-4×3=a²-12，对称轴x=-

a

2

，
∵f（0）=3＞0，
∴若判别式△＜0，即a²-12＜0，解得-2

3

＜a＜2

3

．
若△≥0即a≥2

3

或a≤-2

3

，
①若对称轴x=-

a

2

＞0，即a＜0，则满足条件f（1）≥0，
即1+a+3=a+4≥0，解的a≥-4，
综上-4≤a≤-2

3

，
②若对称轴x=-

a

2

＜0，即a＞0，则满足条件f（-1）≥0，
即1-a+3=-a+4≥0，解的a≤4，
综上2

3

≤a≤4，
综上：-4≤a≤4，
即实数a的取值范围是：[-4，4]．

点评：本题主要考查一元二次不等式恒成立问题，将不等式转化为函数是解决本题的关键．注意要分类讨论．