Question

已知函数f（x）=x²-cosx，对于[-π，π]上的任意x₁，x₂，有如下条件：
①x₁＞x₂；
②x₁²＞x₂²；
③|x₁|＞x₂；
④x₁＞|x₂|．
其中能使f（x₁）＞f（x₂）恒成立的条件是

 

．（写出所有序号）

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：函数的性质及应用

分析：当x²₁＞x²₂时，有|x₁|＞|x₂|，在区间[0，

π

2

]内，有

π

2

≥x₁＞x₂≥0，f（x₁）＞f（x₂），在区间[-

π

2

，0]内，f（x₁）＞f（x₂），从而在区间[-

π

2

，

π

2

]内恒有f（x₁）＞f（x₂）；由函数f（x）=x²-cosx是偶函数，由函数的对称性知离原点越近值越小，由此得x₁＞|x₂|时恒有f（x₁）＞f（x₂）．

解答： 解：此题最好用数形结合的方法求解．
当x²₁＞x²₂时，有|x₁|＞|x₂|；
故在区间[0，

π

2

]内，有

π

2

≥x₁＞x₂≥0，
由图中绿线可见：f（x₁）＞f（x₂），
在区间[-

π

2

，0]内，有-x₁＞-x₂，
即有-

π

2

≤x₁＜x₂≤0，
仍由图中绿线可见：f（x₁）＞f（x₂）
故在区间[-

π

2

，

π

2

]内恒有f（x₁）＞f（x₂）．
由函数f（x）=x²-cosx是偶函数，
由函数的对称性知离原点越近值越小，
∴x₁＞|x₂|时恒有f（x₁）＞f（x₂）．
故答案为：②④．

点评：本题主要考查函数与导数等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等．