Question

（2013•眉山一模）如图，ABCD是梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，PA⊥面ABCD，且AB=1，AD=1，CD=2，PA=3，E为PD的中点．
（1）求证：AE∥面PBC；
（2）求直线PC与平面ABCD所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）取PC中点F，连接EF、BF．利用三角形中位线定理，可得EF∥DC且EF=

1

2

DC，结合题意得EF∥AB，且EF=AB，所以ABFE为平行四边形，可得AE∥BF，由此即得AE∥面PBC；
（2）根据PA⊥面ABCD得∠PCA就是直线PC与平面ABCD所成角，因此利用题中的位置关系和长度数据，算出Rt△PCA中PC和AC的长度，再利用直角三角形三角函数的定义，即可求出∠PCA的余弦，从而得到直线PC与平面ABCD所成角的余弦值．

解答：解：（1）取PC中点F，连接EF、BF．
∵△PCD中E、F分别为PD、PC的中点，
∴EF∥DC且EF=

1

2

DC，
∵AB∥DC且AB=

1

2

DC，∴EF∥AB，且EF=AB，…（3分）
∴ABFE为平行四边形，可得AE∥BF，
∵AE?面PBC，BF?面PBC，∴AE∥面PBC．…（6分）
（2）∵PA⊥面ABCD，
∴AC是直线PC在平面ABCD内的射影，得∠PCA就是直线PC与平面ABCD所成角
∵AD=1，CD=2，∴Rt△ADC中，AC=

AD2+CD2

=

5

又∵PA=3，∴Rt△PAC中，PC=

PA2+AC2

=

14

，…（10分）
因此，Rt△PCA中，cos∠PCA=

AC

PC

=

5

14

=

70

14

，
即直线PC与平面ABCD所成角的余弦值为

70

14

．…（12分）

点评：本题给出底面为直角梯形的四棱锥，求证线面平行并求直线与平面所成角的大小，着重考查了空间线面平行判定定理和线面角大小的求法等知识，属于中档题．