Question

1．已知{a_n}为等差数列，公差d＞0，a₃=7，a₄是a₁，a₁₃的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设S_n为{a_n}的前n项和，${b_n}=\frac{{{a_n}{a_{n+1}}}}{S_n}$，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁、a₄、a₁₃成等比数列可得关于d的方程，解出d，利用等差数列的通项公式可得结果；
（2）若b_n=$4+\frac{3}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，利用裂项求和即可{b_n}的前n项和T_n

解答 解：（1）由a₃=7，可得a₁+2d=7，
由a₁，a₄，a₁₃成等比数列，且d＞0，可得${a_1}（{{a_1}+12d}）={（{{a_1}+3d}）^2}$，
即2a₁=3d．
解得a₁=3，d=2．
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=2n+1．
（2）由（1）知，${S_n}=\frac{{n（{3+2n+1}）}}{2}={n^2}+2n$，
所以${b_n}=\frac{{{a_n}{a_{n+1}}}}{S_n}$=$\frac{{（{2n+1}）（{2n+3}）}}{{n（{n+2}）}}=\frac{{4{n^2}+8n+3}}{{n（{n+2}）}}$=$4+\frac{3}{{n（{n+2}）}}$=$4+\frac{3}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$
所以T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=$4n+\frac{3}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$=$4n+\frac{3}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=$4n+\frac{9}{4}-\frac{3}{2（n+1）}-\frac{3}{2（n+2）}$

点评 该题考查等差数列的通项公式、求和公式，考查裂项求和，属于中档题．