Question

11．（1）若x∈[$\frac{1}{2}$，4]，求f（x）=（log₂$\frac{x}{2}$）•（log₂$\frac{x}{4}$）的最大值和最小值；
（2）若x∈[-1，2]，求g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x2-2x-1的值域．

Answer 1

分析 利用换元法结合对数的运算法则以及一元二次函数的性质进行求解即可．

解答 解：（1）f（x）=（log₂x-log₂2）•（log₂x-log₂4）=（log₂x-1）•（log₂x-2），
令t=log₂x，∵x∈[$\frac{1}{2}$，4]，∴t∈[-1，2]，
则函数等价为y=（t-1）（t-2）=t²-3t+2=（t-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
∵t∈[-1，2]，
∴当t=$\frac{3}{2}$，函数取得最小值-$\frac{1}{4}$，
当t=-1，函数取得最大值1+3+2=6．
（2）设t=x²-2x-1=（x-1）²-2，
∵x∈[-1，2]，
∴-2≤t≤2，
则$\frac{1}{4}$≤（$\frac{1}{2}$）^t≤4，
即函数的值域为[$\frac{1}{4}$，4]．

点评 本题主要考查对数函数和指数函数的最值和值域的求解，利用换元法转化为一元二次函数是解决本题的关键．