Question

已知数列{a_n}的前n项和Sn=12n-n2
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式，并证明{a_n}是等差数列；
（Ⅱ）若c_n=12-a_n，求数列{

1

cn•cn+1

}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，可求得a_n=13-2n，利用等差数列的定义，易证当n∈N^*时，a_n+1-a_n=-2为定值，从而证得结论；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知c_n=2n-1，利用裂项法得

1

cn•cn+1

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），从而可求数列{

1

cn•cn+1

}的前n项和．

解答：解（ I）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=12n-n²-[12（n-1）-（n-1）²]=13-2n，
当n=1时，a₁=S₁=12-1=11适合上式，
∴a_n=13-2n，
∴当n∈N^*时，a_n+1-a_n=13-2（n+1）-（13-2n）=-2为定值，
∴数列{a_n}是等差数列；
（ II）∵c_n=12-a_n=12-（13-2n）=2n-1，n∈N^*，
∴

1

cn•cn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴S_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差关系的确定与裂项法求和，属于中档题．