Question

已知函数f(x)=

2

x+1

（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）在区间（-1，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明．

Answer 1

分析：（1）函数的定义域，就是函数有意义的x的取值范围，因为函数解析式中有分式，所以需满足分母不等于0．
（2）用定义证明函数的单调性，先设给定区间内任意两个自变量x₁，x₂，设出x₁，x₂的大小关系，再计算f（ x₁）-f（ x₂），作差后，把差化简为几个因式的乘积的形式，比较每个因式与0的大小，就可得到f（ x₁）与f（ x₂）的大小关系，进而根据函数单调性的定义判断函数的单调性．

解答：解：（1）要使函数有意义，需满足x+1≠0，解得x≠-1
∴函数的定义域为{x∈R|x≠-1}
（2）f（ x）在（-1，+∞）上为减函数．
证明：设x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂
则f（ x₁）-f（ x₂）=

2

x1+1

-

2

x2+1

=

2(x2+1)-2(x1+1)

(x1+1)(x2+1)

=

2(x2-x1)

(x1+1)(x2+1)

∵x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂
∴x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₂-x₁＞0
∴

2(x2-x1)

(x1+1)(x2+1)

＞0
∴f（ x₁）＞f（ x₂），
∴f（ x）在（-1，+∞）上为减函数

点评：本题主要考查函数定义域的求法，以及定义法证明函数的单调性，证明时一定把f（ x₁）-f（ x₂）因式分解为最简形式再判断．