Question

13．已知点A（0，2），抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，线段FA交抛物线于点B，过B作准线l的垂线，垂足为M，若AM⊥MF，求p的值．

Answer 1

分析 由抛物线的定义可得BM=BF，又 AM⊥MF，根据直角三角形斜边的中点是外心可得故B 为线段AF的中点，求出B的坐标代入抛物线方程求得 p值．

解答 解：由抛物线的定义可得BM=BF，F（$\frac{1}{2}$p，0），又 AM⊥MF，故B为线段AF的中点，
∴B（$\frac{1}{4}$p，1），
把B（$\frac{1}{4}$p，1）代入抛物线y²=2px（p＞0）得，
1=2p×$\frac{1}{4}$p，
∴p=$\sqrt{2}$

点评 本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断B为线段AF的中点，是解题的关键，属于中档题．