(本小题满分14分)
已知函数,,记。
(Ⅰ)判断的奇偶性,并证明;
(Ⅱ)对任意,都存在,使得,.若,求实数的值;
(Ⅲ)若对于一切恒成立,求实数的取值范围.
(1)奇函数(2) (3)
解析试题分析:解:(Ⅰ)函数为奇函数………………………………………………2分
现证明如下:
∵函数的定义域为,关于原点对称。……………………………………3分
由…………………5分
∴函数为奇函数…………………………………………………6分
(Ⅱ)据题意知,当时,,…………7分
∵在区间上单调递增,
∴,即………………………………………8分
又∵
∴函数的对称轴为
∴函数在区间上单调递减
∴,即………………………………………9分
由,
得,∴………………………………………………………………10分
(Ⅲ)当时,
即,
,…………………………………………………12分
令,
下面求函数的最大值。
,
∴……………………………………………………………………13分
故的取值范围是………………………………………………………14分
考点:本试题考查了函数的奇偶性和单调性的运用。
点评:解决该试题的关键是能熟练的运用指数函数和二次函数的性质得到最值,以及根据奇偶性的定义准确的证明,同时对于不等式的恒成立问题,能分离参数法来得到其取值范围。属于中档题。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数 ,为的导数.
(1)当时,求的单调区间和极值;
(2)设,是否存在实数,对于任意的,存在,使得成立?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,ABCD是一块边长为100m的正方形地皮,其中AST是一半径为90m的扇形小山,其他部分都是平地.一开发商想在平地上建一个矩形停车场,使矩形的一个顶点P在弧ST上,相邻两边CQ,CR落在正方形的边BC,CD上,求矩形停车场PQCR的面积S的最大值和最小值(结果取整数).
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数
(1)如果函数的单调减区间为,求函数的解析式;
(2)在(1)的条件下,求函数的图像过点的切线方程;
(3)证明:对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围。
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