Question

已知椭圆

x2

8

+y²=1任意一点P，则点P到直线l：x-y+4=0的最大距离等于

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：写出椭圆的参数方程

x=2 2 cosα y=sinα

（0≤α＜2π），设出点P的坐标，运用点到直线的距离公式，以及两角和的正弦公式，结合正弦函数的最值，即可得到答案．

解答： 解：由于椭圆

x2

8

+y²=1的参数方程为：

x=2 2 cosα y=sinα

（0≤α＜2π）
设点P（2

2

cosα，sinα），
则P到直线l：x-y+4=0的距离为d=

|2 2 cosα-sinα+4|

2

=

|3sin(α+θ)+4|

2

（θ为辅助角）
则当sin（α+θ）=1时，d取得最大值

7 2

2

．
故答案为：

7 2

2

．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，注意椭圆的参数方程、点到直线的距离公式、三角函数的性质的灵活运用