Question

【题目】已知椭圆 的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， 离心率为 ，短轴上的两个顶点为A，B（A在B的上方），且四边形AF1BF2的面积为8．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设动直线y=kx+4与椭圆C交于不同的两点M，N，直线y=1与直线BM交于点G，求证：A，G，N三点共线．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵椭圆C的离心率 ，∴b=c，因此四边形AF1BF2是正方形．

∴a2=8，b=c=2．

∴椭圆C的方程为

（2）解：证明：将已知直线代入椭圆方程化简得：（2k2+1）x2+16kx+24=0，

△=32（2k2﹣3）＞0，解得：k ．

由韦达定理得： ①，xMxN= ，②

设M（xM，kxM+4），N（xN，kxN+4），G（xG，1），

MB方程为：y= ，则G（ ，1），

∴ ， ，

欲证A，G，N三点共线，只需证 ， 共线，

即 （kxN+2）=﹣xN成立，化简得：（3k+k）xMxn=﹣6（xM+xN）

将①②代入易知等式成立，则A，G，N三点共线得证

【解析】（1）椭圆C的离心率 ，可得b=c，四边形AF1BF2是正方形，即a2=8，b=c=2．（2）将已知直线代入椭圆方程化简得：（2k2+1）x2+16kx+24=0

设M（xM，kxM+4），N（xN，kxN+4），G（xG，1），

MB方程为：y= ，则G（ ，1），

欲证A，G，N三点共线，只需证 ， ，共线，即只需（3k+k）xMxn=﹣6（xM+xN）即可．