Question

若函数y=f（x） （x∈R）满足：f（x+2）=f（x），且x∈[-1，1]时，f（x）=|x|，函数y=g（x）是定义在R上的奇函数，且x∈（0，+∞）时，g（x）=log ₃x，则函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象的交点个数为________．

Answer 1

4
分析：函数f（x）满足f（x+2）=f（x）知f（x）是周期函数，当x∈[-1，1]时，f（x）=|x|，可以画出f（x）的图象；又函数g（x）是R上的奇函数，且x∈（0，+∞），g（x）=log ₃x，讨论x＞0，x=0，x＜0时，f（x）与g（x）图象交点的情况．
解答：解：函数y=f（x） （x∈R）满足：f（x+2）=f（x），
∴f（x）是以2为周期的函数；
当x∈[-1，1]时，f（x）=|x|，可以画出f（x）的图象如下；
又函数y=g（x）是定义在R上的奇函数，且x∈（0，+∞）时，g（x）=log ₃x，
∵x=3时，g（3）=1，∴当x＞0时，f（x）与g（x）的图象有两个交点；
当x=0时，f（0）=g（0）=0，∴f（x）与g（x）的图象有一个交点；
当x＜0时，g（x）是R上的奇函数，
∴g（x）=-g（-x）=-log₃（-x）=log₃，与y=f（x）的图象有一个交点；
如图所示：所以，函数y=f（x）与y=g（x）的图象的交点有4个．
故答案为：4．
点评：本题考查了函数的周期性，奇偶性，对数函数以及函数图象的综合应用，是一个容易出错的题目．