Question

已知函数f（x）=x²-alnx（常数a＞0），g（x）=e^x-x．
（1）证明：e^a＞a；
（2）当a＞2e时，讨论函数f（x）在区间（1，e^a）上零点的个数（e为自然对数的底数）．

Answer 1

分析：（1）求出g′（x）=e^x-1令其等于零找出函数的稳定点，得到当x＞0时，g′（x）=e^x-1＞0，推出g（x）在[0，+∞）上是增函数，因为a＞0，得g（a）＞g（0）=1＞0即e^a-a＞0，得证即可；
（2）利用函数的导数研究函数的单调性，求出函数的最值．判断出最大值大于0，最小值小于零，则最值之间有零点．找出零点个数即可．

解答：（1）证明：得g′（x）=e^x-1，令g′（x）=0得到x=0
当x＞0时，g′（x）=e^x-1＞1-1=0，
∴g（x）在[0，+∞）上是增函数，
又a＞0，得g（a）＞g（0）=1＞0．
所以，e^a-a＞0，即e^a＞a．
（2）解：因为f′(x)=2x-

a

x

=

2x2-a

x

=

2(x- 2a 2 )(x+ 2a 2 )

x

．
当0＜x＜

2a

2

时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
当x＞

2a

2

时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．
∴f(x)min=f(

2a

2

)=

a

2

(1-ln

a

2

)．
又由（1）得

a

2

＜a＜ea＜e2a(a≥0，a＜2a)?

2a

2

＜ea，
且当a＞2e时，

2a

2

＞

e

＞1，有1＜

2a

2

＜ea．
而f（1）=1＞0，f（e^a）=e^2a-a²=（e^a-a）（e^a+a）＞0，
当a＞2e时，f(x)min=f(

2a

2

)=

a

2

(1-ln

a

2

)＜0，
所以，当a＞2e时，函数f（x）在（1，e^a）上有两个零点．

点评：考查学生利用导数研究函数的单调性的能力．掌握确定函数零点的方法．