Question

7．已知变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2≥0}\\{2x-y-1≤0}\\{x+4y-14≤0}\end{array}\right.$，则z=$\frac{y+2}{x+1}$的取值范围是$（-∞，-6]∪[\frac{3}{2}，+∞）$．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，利用z=$\frac{y+2}{x+1}$的几何意义结合两点连线的斜率得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2≥0}\\{2x-y-1≤0}\\{x+4y-14≤0}\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2=0}\\{2x-y-1=0}\end{array}\right.$，解得：A（1，1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2=0}\\{x+4y-14=0}\end{array}\right.$，解得C（-2，4），
z=$\frac{y+2}{x+1}$的几何意义是可行域内的动点与定点P（-1，-2）连线的斜率，
∵${k}_{PA}=\frac{-2-1}{-1-1}=\frac{3}{2}$，${k}_{PC}=\frac{4+2}{-2+1}=-6$．
∴z=$\frac{y+2}{x+1}$的取值范围是$（-∞，-6]∪[\frac{3}{2}，+∞）$．
故答案为：$（-∞，-6]∪[\frac{3}{2}，+∞）$．

点评 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，是中档题．