Question

16．已知△ABC的三个顶点在以O为球心的球面上，且cosC=$\frac{1}{3}$，BC=1，AC=3，三棱锥O-ABC的体积为$\frac{\sqrt{14}}{6}$，则球O的表面积为（　　）

• A． 4π
• B． 8π
• C． 16π
• D． 24π

Answer 1

分析 通由余弦定理可知AB，求出B的大小，利用三棱锥O-ABC的体积为$\frac{\sqrt{14}}{6}$，求出O到底面的距离，求出球的半径，然后求出球的表面积．

解答 解：∵△ABC，cosC=$\frac{1}{3}$，BC=1，AC=3，
∴由余弦定理可知：AB=$\sqrt{1+9-2×1×3×\frac{1}{3}}$=2$\sqrt{2}$，
∴AB²+BC²=AC²，
∴B=90°．
∴斜边AC的中点就是△ABC的外接圆的圆心，
设三棱锥O-ABC的底面ABC上的高为h，则
∵三棱锥O-ABC的体积为$\frac{\sqrt{14}}{6}$，
∴$\frac{1}{3}×2\sqrt{2}×1×h$×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{14}}{6}$，
∴h=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，ABC的外接圆的半径为$\frac{1}{2}$•$\frac{2\sqrt{2}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}$=$\frac{3}{2}$，
∴R=$\sqrt{\frac{7}{4}+\frac{9}{4}}$=2，
球O的表面积为4πR²=16π．
故选：C．

点评 本题考查球的表面积的求法，球的内含体与三棱锥的关系，考查空间想象能力以及计算能力．