Question

3．已知函数f（x）=x³．
（1）运用导数的概念及公式（a+b）³=a³+3ab（a+b）+b³，求函数f（x）的导函数；
（2）若函数f（x）的图象为曲线C，过点P（$\frac{2}{3}$，0）作曲线C的切线，求该切线的方程．

Answer 1

分析 （1）运用导数的概念可得函数f（x）=x³在x=x₀时的导数，函数f′（x₀）=$\lim_{△x→0}$$\frac{{f（x}_{0}+△x）-{f（x}_{0}）}{{△x}_{\;}}$，结合公式（a+b）³=a³+3ab（a+b）+b³，可得答案；
（2）将x=$\frac{2}{3}$代入导函数的解析式，求出切线的斜率，进而代入点斜式方程可得切线方程．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x³，（a+b）³=a³+3ab（a+b）+b³，
∴函数f′（x₀）=$\lim_{△x→0}$$\frac{{f（x}_{0}+△x）-{f（x}_{0}）}{{△x}_{\;}}$=$\lim_{△x→0}$$\frac{{x}_{0}^{3}+3{x}_{0}△x（{x}_{0}+△x）+{△x}^{3}-{x}_{0}^{3}}{△x}$=$\lim_{△x→0}$$\frac{3{x}_{0}△x（{x}_{0}+△x）+{△x}^{3}}{△x}$=$\lim_{△x→0}$$3{x}_{0}（{x}_{0}+△x）+{△x}^{2}$=3${x}_{0}^{2}$．
故f′（x）=3x²，
（2）∵f′（x）=3x²，
∴过点P（$\frac{2}{3}$，0）的C的切线的斜率k=′（$\frac{2}{3}$）=$\frac{4}{3}$，
∴过点P（$\frac{2}{3}$，0）的C的切线的方程为：y=$\frac{4}{3}$（x-$\frac{2}{3}$），
即12x-9y-8=0．

点评 本题考查的知识点是导数的运算，利用导数研究曲线上某点的切线方程，难度不大，属于基础题．