Question

12．求抛物线y²=x上的点P到直线4x-3y+5=0的最小值．

Answer 1

分析 设P（x，y）为该抛物线上任一点，利用点到直线间的距离公式可求得点P到直线4x-3y+5=0的距离d的关系式，即可求得d_min．

解答 解：设P（x，y）为该抛物线上任一点，那么y²=x，
则点P到直线4x-3y+5=0的距离d=$\frac{|4x-3y+5|}{\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}}$
=$\frac{|4{y}^{2}-3y+5|}{5}$=$\frac{|4（y-\frac{3}{8}）^{2}+\frac{71}{16}|}{5}$≥$\frac{71}{80}$，
当且仅当y=$\frac{3}{8}$时，取“=”．
此时点P（$\frac{9}{64}$，$\frac{3}{8}$）．
即抛物线上的点P的坐标为（$\frac{9}{64}$，$\frac{3}{8}$）时，
点P到直线4x-3y+5=0的距离最短，最小值为$\frac{71}{80}$．

点评 本题考查抛物线的简单性质，考查点到直线间的距离公式与两点间的距离公式，属于中档题．