Question

18．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0，b，c∈R），设集合A={x∈R|f（x）=x}，B={x∈R|f（f（x））=f（x）}，C={x∈R|f（f（x））=0}．
（Ⅰ）当a=2，A={2}时，求集合B；
（Ⅱ）若f（$\frac{1}{a}$）＜0，试判断集合C的元素个数，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意知方程f（x）=x有且只有一个根2；再结合a=2可得b=-7；且方程f（f（x））=f（x）可化为f（x）=2，再由2是方程f（x）=2的根，求另一根即可；
（Ⅱ）由f（$\frac{1}{a}$）＜0及a＞0可判断方程f（x）=0有两个不等的实根，不妨记为x₁，x₂；从而可得x₁＜$\frac{1}{a}$＜x₂，从而可判断方程f（x）=x₁有两个不等的实根，方程f（x）=x₂有两个不等的实根，且方程f（x）=x₁与方程f（x）=x₂没有相同的根，从而可判断集合C的元素个数．

解答 解：（Ⅰ）∵a=2，A={2}，
∴方程f（x）=x有且只有一个根2；
故-$\frac{b-1}{2a}$=2；
故b=-7；
由A={2}可得，方程f（f（x））=f（x）可化为f（x）=2，
而且2是方程f（x）=2的根，故另一根为
-$\frac{b}{a}$-2=$\frac{3}{2}$；
故集合B={2，$\frac{3}{2}$}．
（Ⅱ）∵f（$\frac{1}{a}$）＜0及a＞0，
∴方程f（x）=0有两个不等的实根，记为x₁，x₂；
且有x₁＜$\frac{1}{a}$＜x₂，
从而可设f（x）=a（x-x₁）（x-x₂），
∴f（x）_min=f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=-$\frac{a}{4}$（x₂-x₁）²；
由x₁＜$\frac{1}{a}$＜x₂，
故x₂-x₁＞$\frac{1}{a}$-x₁＞0，又a＞0；
∴f（x）_min=-$\frac{a}{4}$（x₂-x₁）²＜-$\frac{a}{4}$（$\frac{1}{a}$-x₁）²=-$\frac{a}{4}$（$\frac{1}{a}$+x₁）²+x₁≤x₁；
∴方程f（x）=x₁有两个不等的实根；
另一方面，f（x）_min＜0＜x₂；
∴方程f（x）=x₂有两个不等的实根；
且可知方程f（x）=x₁与方程f（x）=x₂没有相同的根，
∴方程f（f（x））=0有四个不同的根，
即C={x∈R|f（f（x））=0}中的元素有4个．

点评 本题考查了二次函数的性质及零点的判断，同时考查了集合中的元素的个数问题及复合函数的应用，属于中档题．