Question

8．给出下列四个命题：
①?m∈R，使f（x）=（m-1）x${\;}^{{m}^{2}-4m+3}$是幂函数
②?x∈R，e^x-1＞0
③?α，β∈R，使cos（α+β）=cosα+cosβ
④?φ∈R，函数f（x）=cos（x+φ）都不是奇函数
其中真命题的个数是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 ①令m-1=1，解得m=2，可得f（x）=x^-1是幂函数，即可判断出正误；
②利用指数函数的单调性值域即可判断出正误；
③取α=60°，β=-60°，则cos（α+β）=cosα+cosβ成立，即可判断出正误；
④取φ=$kπ+\frac{π}{2}$（k∈Z），则函数f（x）=cos（x+φ）=±sinx是奇函数，即可判断出正误．

解答 解：①令m-1=1，解得m=2，∴f（x）=x^-1是幂函数，因此?m∈R，使f（x）=（m-1）x${\;}^{{m}^{2}-4m+3}$是幂函数，正确；
②?x∈R，e^x-1＞0，正确；
③取α=60°，β=-60°，则cos（α+β）=cosα+cosβ成立，正确；
④取φ=$kπ+\frac{π}{2}$（k∈Z），则函数f（x）=cos（x+φ）=±sinx是奇函数，因此不正确．
故其中真命题的个数是3．
故选：D．

点评 本题考查了简易逻辑的判定、幂函数的定义、指数函数的性质、三角函数性质及其两角和差的余弦公式，考查了推理能力，属于基础题．