Question

15．已知函数f（x）=ln（x+1）-ax的图象在x=1处的切线与直线x+2y-1=0平行，且方程f（x）=$\frac{1}{4}$（m-3x）在[2，4]上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（　　）

• A． （4ln5-4，4ln4-3）
• B． [4ln3-2，4ln5-4]
• C． [4ln3-2，4ln4-3]
• D． [4ln5-4，4ln4-3）

Answer 1

分析 由函数f（x）=ln（1+x）-ax的图象在x=1处的切线与直线x+2y-1=0平行，则在x=1处的导数等于直线x+2y-1=0的斜率，从而可得a=1．方程f（x）=$\frac{1}{4}$（m-3x）整理为4ln（1+x）-x=m．再利用图象的交点来解决．

解答 解：∵f′（x）=$\frac{1}{x+1}$-a，则f（x）的图象在x=1处的切线斜率为f′（1）=$\frac{1}{2}$-a，
由于切线与直线x+2y-1=0平行，
则f′（1）=$\frac{1}{2}$-a=-$\frac{1}{2}$，
解得a=1．
有f（x）=ln（1+x）-x，
∴原方程可整理为4ln（1+x）-x=m．
令g（x）=4ln（1+x）-x，得g′（x）=$\frac{4}{x+1}$-1，
∴当3＜x≤4时g'（x）＜0，当2≤x＜3时g'（x）＞0，g'（3）=0，
即g（x）在[2，3]上是增函数，在[3，4]上是减函数，
∴在x=3时g（x）有最大值4ln4-3．
∵g（2）=4ln3-2，g（4）=4ln5-4，
∴g（2）-g（4）=4ln$\frac{3}{5}$+2=2（2ln$\frac{3}{5}$+1）．
由9e≈24.46＜25，于是2ln$\frac{9e}{25}$＜0．
∴g（2）＜g（4）．
∴m的取值范围为[4ln5-4，4ln4-3）．
故选D．

点评 本题主要考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，用导数法解决方程根的问题，考查分离参数和构造函数的能力，属于中档题．