Question

4．若方程2sinx+$\sqrt{5}$cosx=$\frac{1}{k}$有解，求实数k的范围．

Answer 1

分析 利用辅助角公式，结合三角函数的图象和性质即可得到结论．

解答 解：设y=2sinx+$\sqrt{5}$cosx，
则y=3（$sinx•\frac{2}{3}+cosx•\frac{\sqrt{5}}{3}$）=3sin（x+θ），（tanθ=$\frac{\sqrt{5}}{2}$），
则-3≤y≤3，
若方程2sinx+$\sqrt{5}$cosx=$\frac{1}{k}$有解，
则-3≤$\frac{1}{k}$≤3，
解得k≥$\frac{1}{3}$或k≤-$\frac{1}{3}$，
即实数k的范围是k≥$\frac{1}{3}$或k≤-$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式将函数进行化简，求出函数的最值是解决本题的关键．