Question

12．已知顶点在原点、焦点F在y轴正半轴上的抛物线C₁过点（2，1），抛物线C₂与C₁关于x轴对称．
（Ⅰ）求抛物线C₂的方程；
（Ⅱ）过点F的直线交抛物线C₁于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂），过A，B分别作C₁的切线l₁，l₂交于点P，记直线l₁，l₂与C₂的交点为M（m₁，n₁），N（m₂，n₂）（m₁＜m₂），问：是否存在直线AB，使得$\frac{{S}_{△APB}}{{S}_{△PMN}}$=2（3+2$\sqrt{2}$）？若存在，求出满足条件的直线AB的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）设抛物线C₁的标准方程为：x²=2py（p＞0），把点（2，1）代入解得p，即可得出；即可得出抛物线C₂的方程为x²=-2py．
（II）假设存在直线AB，使得$\frac{{S}_{△APB}}{{S}_{△PMN}}$=2（3+2$\sqrt{2}$）．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为：y=kx+1．与抛物线方程联立可得x²-4kx-4=0，得到根与系数的关系．由${y}^{′}=\frac{1}{2}x$，可得切线AP的方程为：$y-\frac{{x}_{1}^{2}}{4}=\frac{1}{2}{x}_{1}（x-{x}_{1}）$，化为$y=\frac{1}{2}{x}_{1}x-\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$，同理可得BP的方程：$y=\frac{1}{2}{x}_{2}x$-$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}$．联立可得P（2k，-1）．把切线方程与x²=-4y联立解得x_M=$（\sqrt{2}-1）{x}_{1}$，同理可得${x}_{N}=（\sqrt{2}-1）{x}_{2}$．利用$\frac{{S}_{△APB}}{{S}_{△PMN}}$=$\frac{|PA||PB|}{|PM||PN|}$=$\frac{（{x}_{P}-{x}_{1}）（{x}_{2}-{x}_{P}）}{（{x}_{P}-{x}_{M}）（{x}_{N}-{x}_{P}）}$．代入解出即可．

解答 解：（I）设抛物线C₁的标准方程为：x²=2py（p＞0），
把点（2，1）代入可得：4=2p，解得p=2，
∴抛物线C₁的标准方程为x²=4y．
∵抛物线C₂与C₁关于x轴对称，
∴抛物线C₂的方程为x²=-4y．
（II）假设存在直线AB，使得$\frac{{S}_{△APB}}{{S}_{△PMN}}$=2（3+2$\sqrt{2}$）．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为：y=kx+1．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，化为x²-4kx-4=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．
由${y}^{′}=\frac{1}{2}x$，
则切线AP的方程为：$y-\frac{{x}_{1}^{2}}{4}=\frac{1}{2}{x}_{1}（x-{x}_{1}）$，化为$y=\frac{1}{2}{x}_{1}x-\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$，
同理可得BP的方程：$y=\frac{1}{2}{x}_{2}x$-$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x}_{1}x-\frac{{x}_{1}^{2}}{4}}\\{y=\frac{1}{2}{x}_{2}x-\frac{{x}_{2}^{2}}{4}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=2k}\\{y=\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}=-1}\end{array}\right.$，∴P（2k，-1）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x}_{1}x-\frac{{x}_{1}^{2}}{4}}\\{{x}^{2}=-4y}\end{array}\right.$，化为${x}^{2}+2{x}_{1}x-{x}_{1}^{2}$=0，
解得x_M=$（\sqrt{2}-1）{x}_{1}$，
同理可得${x}_{N}=（\sqrt{2}-1）{x}_{2}$．
$\frac{{S}_{△APB}}{{S}_{△PMN}}$=$\frac{|PA||PB|}{|PM||PN|}$=$\frac{（{x}_{P}-{x}_{1}）（{x}_{2}-{x}_{P}）}{（{x}_{P}-{x}_{M}）（{x}_{N}-{x}_{P}）}$．
分子=${x}_{P}（{x}_{1}+{x}_{2}）-{x}_{P}^{2}-{x}_{1}{x}_{2}$=2k•4k-4k²+4=4（k²+1）．
分母=${x}_{P}（{x}_{M}+{x}_{N}）-{x}_{P}^{2}-{x}_{M}{x}_{N}$=${x}_{P}（\sqrt{2}-1）（{x}_{1}+{x}_{2}）$-${x}_{P}^{2}$-$（3-2\sqrt{2}）{x}_{1}{x}_{2}$=$8{k}^{2}（\sqrt{2}-1）-4{k}^{2}-（3-2\sqrt{2}）×（-4）$=$4（3-2\sqrt{2}）（1-{k}^{2}）$，
∴$\frac{4（1+{k}^{2}）}{4（3-2\sqrt{2}）（1-{k}^{2}）}$=$2（3+2\sqrt{2}）$，
化为3k²=1，解得k=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$．
因此存在直线AB：$y=±\frac{\sqrt{3}}{3}x+1$，使得$\frac{{S}_{△APB}}{{S}_{△PMN}}$=2（3+2$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、利用导数的几何意义可得切线的斜率、三角形的面积之比，考查了推理能力与计算能力，属于难题．