Question

【题目】已知椭圆：的短轴长为，离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）求过椭圆的右焦点且倾斜角为135°的直线，被椭圆截得的弦长；

（3）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）椭圆的方程：（2）（3）见解析，

【解析】

（1）根据椭圆短轴长公式和离心率公式进行求解即可；

（2）求出过椭圆的右焦点且倾斜角为135°的直线方程，将与椭圆方程联立，结合椭圆弦长公式和一元二次方程根与系数关系进行求解即可；

（3）根据以为直径的圆过椭圆的右顶点，可以得到向量的数量积为零，将直线方程与椭圆方程联立，利用一元二次方程根与系数进行求解即可.

（1）因为椭圆：的短轴长为，离心率为，

所以有且，而，解得，因此椭圆的标准方程为：；

（2）因为，所以椭圆的右焦点坐标为，因此过椭圆的右焦点且倾斜角为135°的直线方程是，

因此有因此设交点坐标分别为，因此有，因此有

,

所以直线被椭圆截得的弦长为；

（3）设，由题意可知，设椭圆右顶点的坐标为：，因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，所以有

，

即.

直线与椭圆的方程联立，得：

因此，

因此由可得：，化简得：

，或

当时，直线方程为该直线恒过点这与已知矛盾，故舍去；

当时，直线方程为该直线恒过点，综上所述：直线过定点.