【题目】已知椭圆:
的短轴长为
,离心率为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)求过椭圆的右焦点且倾斜角为135°的直线,被椭圆截得的弦长;
(3)若直线与椭圆
相交于
,
两点(
不是左右顶点),且以
为直径的圆过椭圆
的右顶点,求证:直线
过定点,并求出该定点的坐标.
【答案】(1)椭圆的方程:
(2)
(3)见解析,
【解析】
(1)根据椭圆短轴长公式和离心率公式进行求解即可;
(2)求出过椭圆的右焦点且倾斜角为135°的直线方程,将与椭圆方程联立,结合椭圆弦长公式和一元二次方程根与系数关系进行求解即可;
(3)根据以为直径的圆过椭圆
的右顶点,可以得到向量的数量积为零,将直线方程与椭圆方程联立,利用一元二次方程根与系数进行求解即可.
(1)因为椭圆:
的短轴长为
,离心率为
,
所以有且
,而
,解得
,因此椭圆
的标准方程为:
;
(2)因为,所以椭圆
的右焦点坐标为
,因此过椭圆的右焦点且倾斜角为135°的直线方程是
,
因此有因此设交点坐标分别为
,因此有
,因此有
,
所以直线被椭圆截得的弦长为;
(3)设,由题意可知
,设椭圆右顶点的坐标为:
,因为以
为直径的圆过椭圆
的右顶点,所以有
,
即.
直线与椭圆
的方程联立,得:
因此
,
因此由可得:
,化简得:
,或
当时,直线
方程为
该直线恒过
点这与已知矛盾,故舍去;
当时,直线
方程为
该直线恒过
点,综上所述:直线
过定点
.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知曲线
(
为参数),以坐标原点
为极点,
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程为:
.
(1)求直线和曲线
的直角坐标方程;
(2),直线
和曲线
交于
、
两点,求
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】新高考取消文理科,实行“”模式,成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况,随机调查50人,并把调查结果制成下表:
年龄(岁) | ||||||
频数 | 5 | 15 | 10 | 10 | 5 | 5 |
了解 | 4 | 12 | 6 | 5 | 2 | 1 |
(1)把年龄在称为中青年,年龄在
称为中老年,请根据上表完成
列联表,是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄(中青年、中老年)有关?
了解新高考 | 不了解新高考 | 总计 | |
中青年 | |||
中老年 | |||
总计 |
附:.
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
(2)若从年龄在的被调查者中随机选取3人进行调查,记选中的3人中了解新高考的人数为
,求
的分布列以及
.
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【题目】若养殖场每个月生猪的死亡率不超过,则该养殖场考核为合格,该养殖场在2019年1月到8月养殖生猪的相关数据如下表所示:
月份 | 1月 | 2月 | 3月 | 4月 | 5月 | 6月 | 7月 | 8月 |
月养殖量/千只3 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 9 | 10 | 12 |
月利润/十万元 | 3.6 | 4.1 | 4.4 | 5.2 | 6.2 | 7.5 | 7.9 | 9.1 |
生猪死亡数/只 | 29 | 37 | 49 | 53 | 77 | 98 | 126 | 145 |
(1)从该养殖场2019年2月到6月这5个月中任意选取3个月,求恰好有2个月考核获得合格的概率;
(2)根据1月到8月的数据,求出月利润y(十万元)关于月养殖量x(千只)的线性回归方程(精确到0.001).
(3)预计在今后的养殖中,月利润与月养殖量仍然服从(2)中的关系,若9月份的养殖量为1.5万只,试估计:该月利润约为多少万元?
附:线性回归方程中斜率和截距用最小二乘法估计计算公式如下:
,
参考数据:.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知曲线和曲线
交于A,B两点(点A在第二象限).过A作斜率为
的直线
交曲线M于点C(不同于点A),过点
作斜率为
的直线
交曲线
于E,F两点,且
.
(I)求的取值范围;
(Ⅱ)设的面积为S,求
的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设f(x)=|lnx|,若函数g(x)=f(x)-ax在区间(0,4)上有三个零点,则实数a的取值范围是( )
A. (0,)B. (
,e)C. (
,
)D. (0,
)
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【题目】某国营企业集团公司现有员工1000名,平均每人每年创造利润10万元.为了激化内部活力,增强企业竞争力,集团公司董事会决定优化产业结构,调整出(
)名员工从事第三产业;调整后,他们平均每人每年创造利润
万元
,剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高
%.
(Ⅰ)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润,则最多调整出多少名员工从事第三产业?
(Ⅱ)在(1)的条件下,若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润,则实数的取值范围是多少?
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