Question

函数f（x）=ax³+bx²+cx+3-a，（a，b，c∈R，且a≠0）当x=-1时，f（x）取得极大值2
（1）用关于a的代数式分别表示b与c．
（2）求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出函数的导函数，由已知在x=-1处f（x）取得极大值2，代入可得方程组

f(1)=2 f′(1)=0

，进一步得到a，b，c的关系．
（2）在（1）的基础上得到函数f（x）的导数f^′（x）=3ax²+2（a+1）x+2-a，由已知要使函数f（x）有极大值需要对二次项系数a和极值点进行讨论，易得结论．

解答：解：（1）f′（x）=3ax²+2bx+c∴

f(-1)=2 f′(-1)=0

∴ b=a+1 c=2-a

（2）由（1）得f′(x)=3ax2+2(a+1)x+2-a=3a(x+1)(x-

a-2

3a

)
令f′（x）=0解得x₁=-1，x₂=

a-2

3a

∴要使f（x）极大值为f（-1）=2，则

a＞0 a-2 3a

＞-1或

a＜0 a-2 3a

＜-1
∴a＞

1

2

点评：本题考查了函数的导数，导数的几何意义，以及利用导数解答函数的极值问题．考查了二次函数的性质，综合考查了函数的零点以及分类讨论的数学思想．