Question

已知函数f(x)=e^x+2x²—3x
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2) 当x ≥1时，若关于x的不等式f(x)≥ax恒成立，求实数a的取值范围；
(3)求证函数f(x)在区间[0，1)上存在唯一的极值点，并用二分法求函数取得极值时相应x的近似值(误差不超过0.2)；(参考数据e≈2.7，≈1．6，e^0.3≈1．3)。

Answer 1

（1）(e+1)x-y-2=0
（2）a≤e-1
（3）x≈0.45

(1)f'(x)=e^x+4x-3，则=e+1，
又f(1)=e—1，
∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为
y-e+1=(e+1)(x-1)，即：(e+1)x-y-2=0
(2)由f(x)≥ax，得ax≤e^x+2 x²-3x，
∵x≥1 ，∴a≤
令g(x)= ，则g’(x)=
∵x≥1 ，∴g’(x)>0，∴g(x)在[1，+∞）上是增函数，
∴g(x)min=g(1)=e-1,
∴a的取值范围是a≤e-1，
（3）∵f'(0)=e⁰-3=-2<0,f'(1)=e+1>0，   ∴f'(0)·f'(1)<0
令h(x)=f'(x)=e^x+4x-3，
则h'(x)=e^x+4>0，f'(x)在正[0，1]上单调递增，
∴．f'(x)在[0，1]上存在唯一零点，f(x)在[0，1]上存在唯一的极值点．
取区间[0，1]作为起始区间，用二分法逐次计算可知区间[0.3,0.6]的长度为0.3,所以该区间的中点x2=0.45，到区间端点的距离小于0.2，因此可作为误差不超过0.2一个极值点的相应x的值
∴函数y=f(x)取得极值时，相应x≈0.45.