Question

13．函数y=${（\frac{1}{2}）}^{\sqrt{3+2x{-x}^{2}}}$的定义域为[-1，3]，值域为[$\frac{1}{4}$，1]．

Answer 1

分析 化简3+2x-x²=-（x+1）（x-3），从而求得函数的定义域，再由二次函数及指数函数的性质求函数的值域．

解答 解：∵3+2x-x²=-（x+1）（x-3）≥0，
∴-1≤x≤3，
∴函数y=${（\frac{1}{2}）}^{\sqrt{3+2x{-x}^{2}}}$的定义域为[-1，3]；
∵x∈[-1，3]，
∴0≤3+2x-x²≤4，
∴0≤$\sqrt{3+2x-{x}^{2}}$≤2，
∴$\frac{1}{4}$≤${（\frac{1}{2}）}^{\sqrt{3+2x{-x}^{2}}}$≤1，
∴函数y=${（\frac{1}{2}）}^{\sqrt{3+2x{-x}^{2}}}$的值域为[$\frac{1}{4}$，1]．
故答案为：[-1，3]，[$\frac{1}{4}$，1]．

点评 本题考查了复合函数的定义域与值域的求法．