Question

设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：
（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；
（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；
（3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；
（4）直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．
上面命题中，正确命题的个数是

2

  个．

Answer 1

分析：利用面面平行的判定定理可判断（1）；利用线面平行的判定定理可判断（2）；利用面面垂直的性质可判断（3），利用线面垂直的性质可判断（4）．

解答：解：（1）由面面平行的判定定理可知，若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β，正确；
（2）由线面平行的判定定理可知（2）正确；
（3）α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则不能推出α和β垂直，故（3）错误；
（4）直线l与α垂直⇒l与α内的两条直线垂直，（充分性成立），反之不然（必要性不成立），故（4）错误．
综上所述，①②正确．
故答案为：2．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理与性质，属于中档题．