Question

如图，斜率为1的直线过抛物线Ω：y²=2px（p＞0）的焦点F，与抛物线交于两点A，B，
（1）若|AB|=8，求抛物线Ω的方程；
（2）设C为抛物线弧AB上的动点（不包括A，B两点），求△ABC的面积S的最大值；
（3）设P是抛物线Ω上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别交抛物线的准线于M，N两点，证明M，N两点的纵坐标之积为定值（仅与p有关）

Answer 1

（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵直线l斜率为1且过焦点F(

p

2

，0)，∴直线l的方程为y=x-

p

2

．
联立

y=x- p 2 y2=2px

，消去y得到关于x的方程x2-3px+

p2

4

=0，
由题意，△=9p²-p²＞0．
由根与系数的关系得x₁+x₂=3p，x1x2=

p2

4

．
由抛物线的定义可得：|AB|=xx₁+x₂+p=4p，又|AB|=8，∴4p=8，∴p=2．
因此所求的抛物线方程为y²=4x．
（2）由题意可知：当过点C的切线与AB平行时三角形ABC的面积最大，
设此切线为y=x+t，与抛物线方程联立得

y=x+t y2=2px

，消去y得到关于x的方程x²+（2t-2p）x+t²=0，
∴△=（2tt-2p）²-4t²=0，解得t=

p

2

，∴切线为y=x+

p

2

．
因此切线与直线AB的距离d=

|- p 2 - p 2 |

2

=

2 p

2

．
∴△ABC的最大面积=

1

2

×

2 p

2

×4p=

2

p2．
（3）设A(

y12

2p

，y1)，B(

y22

2p

，y2)，P(

y02

2p

，y0)．
则直线PA的方程为y-y0=

y0-y1

y02 2p - y12 2p

(x-

y02

2p

)，化为y-y0=

2p

y0+y1

(x-

y02

2p

)，
令x=-

p

2

，则y_M=

y0y1-p2

y0+y1

，
同理可得yN=

y0y2-p2

y0+y2

，
∴y_M•y_N=

y02y1y2-p2y0(y1+y2)+p4

y02+y0(y1+y2)+y1y2

，
由（1）可得：y²-2py-p²=0，
∴y₁+y₂=2p，y1y2=-p2．
∴y_M•y_N=

-y02p2-2p3y0+p4

y02+2py0-p2

=-p²为定值．