【题目】已知函数,其中
.
(1)求函数的单调区间.
(2)若函数有两个极值点
、
,且
,证明:
.
【答案】(1)详见解析 (2)见解析.
【解析】
(1)求出函数的导数,通过讨论a的范围,研究导数中二次函数的单调性及零点的分布,从而求出函数的单调区间;
(2)通过韦达定理,将所证明的函数中的与a都用
表示,构造新函数,由条件求得新函数的定义域,进而再利用导数求值域,即可证明结论.
(1)的定义域为
,
令,
①即
,即
,即
,当且仅当
,
时
所以在
单调递增
②且
,即
,
的两根
,
,
,即
,
在
单调递减,
,
,即
,
在
单调递增.
③且
,即
时,
的两根
,
,
,即
,
在
单调递增,
,
,即
,
在
单调递减,
,
,即
,
在
单调递增,
综合上述:时,
的单调增区间为
时,
的单调增区间为
,
,
单调减区间为
,
的单调增区间为
,单调减区间为
.
(2)由(1)可知,有两个极值点
,
则
,且
则
=,
令,
,
,则
在
,
,则
在
上单调递增,
,
则.
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【题目】已知抛物线上一点
到焦点
的距离
,倾斜角为
的直线经过焦点
,且与抛物线交于两点
、
.
(1)求抛物线的标准方程及准线方程;
(2)若为锐角,作线段
的中垂线
交
轴于点
.证明:
为定值,并求出该定值.
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【题目】过圆锥轴的截面为等腰直角三角形,
为底面圆周上一点,已知
,圆锥体积为
,点
为底面圆的圆心
(1)求该圆锥的全面积
(2)求异面直线与
所成角的大小(结果用反三角函数表示)
(3)求点到平面
的距离
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【题目】已知点和非零实数
,若两条不同的直线
、
均过点
,且斜率之积为
,则称直线
、
是一组“
共轭线对”,如直线
和
是一组“
共轭线对”,其中
是坐标原点.
(1)已知、
是一组“
共轭线对”,且知直线
,求直线
的方程;
(2)如图,已知点、点
和点
分别是三条倾斜角为锐角的直线
、
、
上的点(
、
、
与
、
、
均不重合),且直线
、
是“
共轭线对”,直线
、
是“
共轭线对”,直线
、
是“
共轭线对”,求点
的坐标;
(3)已知点,直线
、
是“
共轭线对”,当
的斜率变化时,求原点
到直线
、
的距离之积的取值范围.
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【题目】如图,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为DC的中点,F为线段EC(端点除外)上一动点,现将△AFD沿AF折起,使平面ABD⊥平面ABC,则二面角D﹣AF﹣B的平面角余弦值的取值范围是_____.
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【题目】下列命题正确的是
(1)命题“,
”的否定是“
,
”;
(2)l为直线,,
为两个不同的平面,若
,
,则
;
(3)给定命题p,q,若“为真命题”,则
是假命题;
(4)“”是“
”的充分不必要条件.
A. (1)(4)B. (2)(3)C. (3)(4)D. (1)(3)
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