Question

【题目】已知函数，其中.

（1）求函数的单调区间.

（2）若函数有两个极值点、，且，证明：.

Answer 1

【答案】（1）详见解析 （2）见解析.

【解析】

（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，研究导数中二次函数的单调性及零点的分布，从而求出函数的单调区间；

（2）通过韦达定理，将所证明的函数中的与a都用表示，构造新函数，由条件求得新函数的定义域，进而再利用导数求值域，即可证明结论.

（1）的定义域为，

令，

①即，即，即，当且仅当，时

所以在单调递增

②且，即，的两根，

，，即，在单调递减，，，即，在单调递增.

③且，即时，的两根，

，，即，在单调递增，，，即，在单调递减，，，即，在单调递增，

综合上述：时，的单调增区间为

时，的单调增区间为，，

单调减区间为

，的单调增区间为，单调减区间为.

（2）由（1）可知，有两个极值点，则，且

则

=，

令，，

，则在，，则在上单调递增，，

则.