Question

如图，在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁、CD的中点．

I．证明ADD₁F；

II．求AE与D₁F所成的角；

III．证明面AED面A₁FD₁；

IV．设AA₁=2,求三棱锥F－A₁ED₁的体积

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)证明：∵AC1是正方体, ∴AD⊥面DC1． 又D1F面DC1, ∴AD⊥D1F． (Ⅱ)解：取AB中点G,连结A1G,FG．因为F是CD的中点,所以GF、AD平行且相等,又A1D1、AD平行且相等,所以GF、A1D1平行且相等,故GFD1A1是平行四边形,A1G∥D1F． 设A1G与AE相交于点H,则∠AHA1是AE与D1F所成的角,因为E是BB1的中点,所以Rt△A1AG≌Rt△ABE,∠GA1A=∠GAH，从而∠AHA1=90°,即直线AE与D1F所成角为直角． (Ⅲ)证明：由(Ⅰ)知AD⊥D1F,由(Ⅱ)知AE⊥D1F,又AD∩AE=A,所以D1F⊥面AED．又因为D1F面A1FD1,所以面AED⊥面A1FD1．　　   (Ⅳ)解：连结GE,GD1． ∵FG∥A1D1,∴FG∥面A1ED1, ∴ ∵AA1=2, ∴正方形ABB1A1 ∴