Question

已知两点M(-2，0)，N(2，0)，动点P在y轴上的射影为为H，||是2和的等比中项.

(Ⅰ)求动点P的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线；

(Ⅱ)若以点M，N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q，求实轴最长的双曲线C的方程．

Answer 1

解：(1)设动点的坐标为P(x，y)，则H(0，y)，

=(-x，0)，=(-2-x，-y)，=(2-x，-y).

∴·=(-2-x,-y)·(2-x,-y)=x²-4+y²,||=|x|

由题意得||²=2·,即x²=2(x²-4+y²)

即=1(x≠0) 

(Ⅱ)由已知求得N(2，0)关于直线x+y=1的对称点

E(1，-1)，则|QK|=|QN|

双曲线C的实轴长2a=||QM|-|QN||=||QM|-|QE||≤|ME|=(当且仅当Q、E、M共线时取“=”)，此时，实轴长2a最大为所以，双曲线C的实半轴长a=

又∵c=|NM|=2，∴b²=c²-a²=

∴双曲线C的方程为=1