Question

2．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的外接球体积是（　　）

• A． 4π
• B． $\frac{8}{3}$π
• C． 16π
• D． $\frac{32}{3}$π

Answer 1

分析 由三视图知该几何体是侧面垂直于底面的三棱锥，根据图中数据得出底面三角形的外接圆圆心即为外接球的球心，求出半径计算体积即可．

解答 解：由三视图知，几何体为三棱锥，且三棱锥的个侧面垂直于底面，高为$\sqrt{3}$，
底面为等腰直角三角形，斜边长为4，如图所示：

∴△ABC的外接圆的圆心为斜边AC的中点O′，OP⊥AC，且OP?平面PAC，
∵OO′=1，OP=$\sqrt{3}$，∴O′P=2，
O′A=O′B=O′C=2，
∴AC的中点O′为外接球的球心，
∴半径R=2，
∴外接球的体积V=$\frac{4}{3}$π•2³=$\frac{32π}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查了由三视图求几何体的外接球的体积，根据三视图判断几何体的结构特征，利用几何体的结构特征与数据求得外接球的半径是解答本题的关键．