Question

设a∈R，f(x)=

a•2x+a-2

2x+1

(x∈R)是奇函数；
（1）求常数a的值
（2）实数k＞0，解关于x的不等式：f-1(x)＞log2

1+x

k

．

Answer 1

分析：（1）由f(x)=

a•2x+a-2

2x+1

(x∈R)是奇函数，利用f（0）=0能求出a．
（2）由f（x）=

2x-1

2x+1

，设y=

2x-1

2x+1

，求出f-1(x)=log2

1+x

1-x

，-1＜x＜1．由f-1(x)＞log2

1+x

k

，知log2

1+x

1-x

＞log2

1+x

k

，然后利用穿根法求不等式f-1(x)＞log2

1+x

k

的解集．

解答：解：（1）∵a∈R，f(x)=

a•2x+a-2

2x+1

(x∈R)是奇函数，
∴f（0）=

20•a+a-2

20+1

=

2a-2

2

=0，
∴a=1．
（2）由（1）知，f（x）=

2x-1

2x+1

，
设y=

2x-1

2x+1

，则y•2^x+y=2^x-1，
∴（1-y）•2^x=1+y，
2x=

1+y

1-y

，
∴x=log2

1+y

1-y

，
x，y互换，得f-1(x)=log2

1+x

1-x

，-1＜x＜1．
由f-1(x)＞log2

1+x

k

，得log2

1+x

1-x

＞log2

1+x

k

，
∴

1+x

1-x

＞

1+x

k

，
整理，得

x(x+1)

k(x-1)

＜0，
∵k＞0，，-1＜x＜1．
∴借助数轴和反函数的定义域，知不等式f-1(x)＞log2

1+x

k

的解集为{x|0＜x＜1}．

点评：本题考查对数函数的性质和不等式的综合运用，综合性强，难度大，易错点是求不等式解集时容易忽视反函数的定义域．解题时要认真审题，注意奇函数性质的灵活运用．