Question

设a∈R，f(x)=cosx(asinx-cosx)+cos2(

π

2

-x)满足f(-

π

3

)=f(0)．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）若x∈[

π

4

，

17π

24

]，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）通过二倍角的余弦函数以及诱导公式化简函数的表达式，通过f(-

π

3

)=f(0)求出a，然后利用两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，即可求解函数f（x）的最小正周期，通过正弦函数的单调减区间求解函数的单调递减区间；
（2）利用x∈[

π

4

，

17π

24

]，求出函数的相位的范围，利用正弦函数的最值，直接求f（x）的最大值和最小值．

解答：（本小题13分）
解：（1）f(x)=cosx(asinx-cosx)+cos2(

π

2

-x)
=

a

2

sin2x-cos2x+sin2x
=

a

2

sin2x-cos2x
由f(-

π

3

)=f(0)
可得

a

2

sin(-

2π

3

)-cos(-

2π

3

)=

a

2

sin0-cos0
⇒-

3 a

4

-(-

1

2

)=-1
⇒a=2

3

，
f(x)=

3

sin2x-cos2x=2sin(2x-

π

6

)．
∴T=π，
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

⇒kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

（k∈Z）
∴函数f（x）的最小正周期为π，
∴函数f（x）的单调递减区间为[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

](k∈Z)．
（2）由于x∈[

π

4

，

17π

24

]，所以

π

2

-

π

6

≤2x-

π

6

≤

17π

12

-

π

6

即

π

3

≤2x-

π

6

≤

5π

4

，
∴-

2

≤2sin(2x-

π

6

)≤2，
∴f（x）的最大值为2，最小值为-

2

．

点评：本题考查三角函数的化简求值，二倍角的余弦函数以及两角和与差的三角函数的应用，考查三角函数的最值的求法单调区间的求法，考查计算能力．