Question

已知椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1的左焦点为F，过F点的直线l交椭圆于A，B两点，P为线段AB的中点，当△PFO的面积最大时，求直线l的方程．

Answer 1

分析：由椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1可得c=

a2-b2

，左焦点F的坐标．由题意只考虑直线l的斜率存在且不为0即可．设直线l的方程为my=x+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用中点坐标公式可得y_P，利用S_△PFO=

1

2

|OF|•|yP|和基本不等式即可得出．

解答：解：由椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1可得a²=4，b²=3，∴c=

a2-b2

=1．
∴左焦点F（-1，0）．
由题意只考虑直线l的斜率存在且不为0即可，
设直线l的方程为my=x+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

my=x+1 x2 4 + y2 3 =1

化为（4+3m²）y²-6my-9=0，
∴y1+y2=

6m

4+3m2

，
∴yP=

y1+y2

2

=

3m

4+3m2

，
∴S_△PFO=

1

2

|OF|•|yP|=

|3m|

2(4+3m2)

=

3

2( 4 |m| +3|m|)

≤

3

2×2 12

=

3

8

，当且仅当|m|=

2 3

3

时取等号．
此时△PFO的最大值为

3

8

，直线l的方程为±

2 3

3

y=x+1．

点评：本题考查了直线与椭圆相交问题、根与系数的关系、三角形的面积最大值问题、基本不等式等基础知识与基本技能方法，属于难题．