Question

设函数f（x）=

3

cos²wx+sinwxcoswx（其中w＞0，a∈R）的最小正周期是4π
（1）求w的值；
（2）设函数g（x）对任意的x∈R都有g（x+π）=g（x），且当x∈[0，π]时，g（x）=

3

2

-f（x），求g（x）在[0，2π]上的解析式．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值

分析：（1）利用倍角公式，辅助角公式化简f（x）=

3

cos²wx+sinwxcoswx，然后利用T=

2π

2w

=4π，计算即可．
（2）设π＜x≤2π，则0＜x-π≤π，由g（x+π）=g（x）化简即可得到g（x）在[π，2π]上的解析式．

解答： 解：（1）∵f（x）=

3

cos²wx+sinwxcoswx
=

3

2

cos2wx+

1

2

sin2wx+

3

2

=sin

π

3

cos2wx+cos

π

3

sin2wx+

3

2

=sin(2wx+

π

3

)+

3

2

．
∴T=

2π

2w

=4π，
∴w=

1

4

．
（2）由（1）可知f(x)=sin(

1

2

x+

π

3

)+

3

2

设π＜x≤2π，则
0＜x-π≤π．
∵g（x+π）=g（x），
∴g(x)=g(x-π)=

3

2

-f(x-π)
=-sin[

1

2

(x-π)+

π

3

]
=-sin(

1

2

x-

π

6

)．
∴g(x)=

-sin( 1 2 x+ π 3 ) ， x∈[0，π] -sin( 1 2 x- π 6 ) ， x∈(π，2π]

．

点评：本题主要考查三角恒等变换公式的灵活应用和三角函数的周期性等知识的综合应用，属于中档题．